Question

【題目】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1= ，an+1= ，n=1，2，…
（1）求證：{ ﹣1}是等比數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對(duì)任意的x＞0，an≥ ﹣ （ ﹣x），n=1，2，…
（3）證明：n﹣ ≥a1+a2+…+an＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵an+1= ，

∴ ，即 ，

又 ，

∴{ }是以 為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列．

∴ ，

∴ ；

（2）證明： =

= ；

（3）證明：由 ，

知 ，

當(dāng)n=1時(shí)等號(hào)成立．

∴n﹣ ≥a1+a2+…+an；

由（2）知，對(duì)于任意x＞0，有

，

取 ，

則a1+a2+…+an≥ ．

故n﹣ ≥a1+a2+…+an＞ ．

【解析】（1）把原數(shù)列遞推式取倒數(shù)，然后配方化為 ，得到數(shù)列∴{ }是以 為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列．則{an}的通項(xiàng)公式可求；（2）把{an}的通項(xiàng)公式代入后作差，整理后由差式大于等于0得答案；（3）不等式左邊直接代入數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式放縮得答案，借助于（2），分別取n=1，2，3，…，累加后取取 證得答案．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等比數(shù)列的基本性質(zhì)和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握{(diào)an}為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列;{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列== {an}是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．