Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+asinx+

a2+b-1

a

，設a≥2，若存在x∈R，使得f（x）≤0，求a²+b²-8a的最小值．

Answer 1

考點：基本不等式,三角函數(shù)的最值

專題：不等式的解法及應用

分析：函數(shù)f（x）=sin²x+asinx+

a2+b-1

a

=(sinx+

a

2

)2-

a2

4

+

a2+b-1

a

，由于a≥2，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得當sinx=-1時，函數(shù)f（x）取得最小值1-a+

a2+b-1

a

=

a+b-1

a

．由于存在x∈R，使得f（x）≤0，可得

a+b-1

a

≤0，（a≥2），由于a²+b²-8a=（a-4）²+b²-16，求出點P（4，0）到直線x+y=1的距離d．可得a²+b²-8a=（a-4）²+b²-16≥d²-16，即可得出．

解答： 解：函數(shù)f（x）=sin²x+asinx+

a2+b-1

a

=(sinx+

a

2

)2-

a2

4

+

a2+b-1

a

，
∵a≥2，∴-

a

2

≤-1．
∴當sinx=-1時，函數(shù)f（x）取得最小值1-a+

a2+b-1

a

=

a+b-1

a

，
∵存在x∈R，使得f（x）≤0，
∴

a+b-1

a

≤0，
即a+b≤1，（a≥2）．
∴a²+b²-8a=（a-4）²+b²-16，
點P（4，0）到直線x+y=1的距離d=

|4-0-1|

2

=

3 2

2

．
∴a²+b²-8a=（a-4）²+b²-16≥d²-16=-

23

2

，
∴a²+b²-8a的最小值是-

23

2

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的只值域、點到直線的距離公式公式、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．