Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，AC=9，BC=12，AB=15，AA₁=12，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥B₁C
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

解：（1）∵C₁C⊥平面ABC，AC?面ABC，∴C₁C⊥AC．
∵AC=9，BC=12，AB=15，∴AC⊥BC． 又 BC∩C₁C=C，
∴AC⊥平面BCC₁B₁，而B₁C?平面BCC₁B₁，∴AC⊥B₁C．
（2）連接BC₁交B₁C于O點(diǎn)，連接OD，
∵O，D分別為BC₁，AB的中點(diǎn)，
∴OD∥AC₁，又OD?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
分析：（1）證明C₁C⊥AC，AC⊥BC，可得AC⊥平面BCC₁B₁，而B₁C?平面BCC₁B₁，故AC⊥B₁C．
（2）連接BC₁交B₁C于O點(diǎn)，由三角形中位線的性質(zhì)得OD∥AC₁，又OD?平面CDB₁，可得AC₁∥平面CDB₁．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直、線面平行的方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，連接BC₁交B₁C于O點(diǎn)，證明OD∥AC₁，是解題的難點(diǎn)．