給定橢圓C：，稱圓心在原點O、半徑為的圓是橢圓C的“伴橢圓” ，若橢圓C的一個焦點為,其短軸上的一個端點到距離為；

（1）、求橢圓C的方程及其“伴橢圓”的方程；

（2）、若傾斜角為的直線與橢圓C只有一個公共點，且與橢圓C的“伴橢圓”相交于M、N兩點，求弦MN的長。

（3）、若點P是橢圓C“伴橢圓”上一動點，過點P作直線，使得與橢圓C都只有一個公共點，求證：。

 

【答案】

解：（1）因為，所以……………………………………………2分

所以橢圓的方程為，伴隨圓的方程為.………………4分

（2）設(shè)直線的方程，由得 

由得…………………………6分

圓心到直線的距離為 ，所以………………………………8分

（3）①、當(dāng)中有一條無斜率時，不妨設(shè)無斜率，

因為與橢圓只有一個公共點，則其方程為或，

當(dāng)方程為時，此時與伴隨圓交于點

此時經(jīng)過點（或且與橢圓只有一個公共點的直線是(或，

即為(或，顯然直線垂直；

同理可證方程為時，直線垂直.…………………………10分

 

②、當(dāng)都有斜率時，設(shè)點其中，

設(shè)經(jīng)過點與橢圓只有一個公共點的直線為，

由，消去得到，

即，……………………12分

，

經(jīng)過化簡得到：，

因為，所以有，…………………14分

設(shè)的斜率分別為，因為與橢圓都只有一個公共點，

所以滿足方程，

因而，即垂直.……………………………………………………16分

 

【解析】略

 

練習(xí)冊系列答案
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（本小題滿分15分）

給定橢圓C：，稱圓心在原點O、半徑是的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個焦點為，其短軸的一個端點到點的距離為．

（1）求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；

（2）若點是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點，是橢圓C上的兩相異點，且軸，求的取值范圍；

（3）在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點，過點作直線，使得與橢圓C都只有一個交點，試判斷是否垂直？并說明理由．

 

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給定橢圓C：，稱圓心在原點O、半徑為的圓是橢圓C的“伴橢圓” ，若橢圓C的一個焦點為,其短軸上的一個端點到距離為；

（1）、求橢圓C的方程及其“伴橢圓”的方程；

（2）、若傾斜角為的直線與橢圓C只有一個公共點，且與橢圓C的“伴橢圓”相交于M、N兩點，求弦MN的長。

（3）、若點P是橢圓C“伴橢圓”上一動點，過點P作直線，使得與橢圓C都只有一個公共點，求證：。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給定橢圓C：，稱圓心在原點O、半徑為的圓是橢圓C的“伴橢圓” ，若橢圓C的一個焦點為,其短軸上的一個端點到距離為；

（1）、求橢圓C的方程及其“伴橢圓”的方程；

（2）、若傾斜角為的直線與橢圓C只有一個公共點，且與橢圓C的“伴橢圓”相交于M、N兩點，求弦MN的長。

（3）、若點P是橢圓C“伴橢圓”上一動點，過點P作直線，使得與橢圓C都只有一個公共點，求證：。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年上海市黃浦區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

給定橢圓C：，稱圓心在原點O、半徑是的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個焦點為，其短軸的一個端點到點F的距離為．
（1）求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；
（2）過橢圓C的“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個交點，求l1，l2的方程；
（3）若點A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點，B，D是橢圓C上的兩相異點，且BD⊥x軸，求的取值范圍．

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