Question

若（

2

2

+x）²ⁿ=a₀+a₁x+…+a_2nx²ⁿ，則

lim

n→∞

[（a₀+a₂+…+a_2n）²}-（a₁+a₃+…+a_2n-1）²]=（　　）

• A、1
• B、

  2

  2

• C、0
• D、-1

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專(zhuān)題：二項(xiàng)式定理

分析：因?yàn)榍髽O限的數(shù)為二項(xiàng)式展開(kāi)式的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和的平方與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和的平方的差，故可以賦值x=1代入二項(xiàng)展開(kāi)式中A=（

2

2

+1）²ⁿ=a0+a1+…+a2n；x=-1可得，B=（

2

2

-1）²ⁿ=a0-a1+a2-a3+…-a2n-1+a2n，而求極限的數(shù)由平方差公式可以知道就是式子A與B的乘積，代入后由平方差公式即可化簡(jiǎn)為求得答案．

解答： 解：令x=1得，A=（

2

2

+1）²ⁿ=a0+a1+…+a2n；x=-1可得，B=（

2

2

-1）²ⁿ=a0-a1+a2-a3+…-a2n-1+a2n，
所以（a₀+a₂+…+a_2n）²-（a₁+a₃+…+a_2n-1）²
=（a₀+a₁+…+a_2n）（a₀-a₁+…-a_2n-1）
=（

2

2

+1）²ⁿ（

2

2

-1）²ⁿ
=[（

2

2

+1）（

2

2

-1）]²ⁿ
=（

1

2

）²ⁿ=

1

4n

；
∴

lim

n→∞

[（a₀+a₂+a₄+…+a_2n）²-（a₁+a₃+a₅…+a_2n-1）²]=

lim

n→∞

1

4n

=0．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，主要是二項(xiàng)式系數(shù)和差的考查，對(duì)于二項(xiàng)式系數(shù)的問(wèn)題常常常用賦值法解決；同時(shí)還考查了學(xué)生的計(jì)算能力與轉(zhuǎn)化能力以及求極限問(wèn)題．