Question

(本小題滿分16分)
在數(shù)列中，，（≥2，且）,數(shù)列的前項(xiàng)和．
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
（2）求；
（3）設(shè)，求的最大值．

Answer 1

（1）見解析；（2）；（3）的最大值為.

第一問由題意，（≥2，且），
則，          
又，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列
第二問∵{}的通項(xiàng)公式（），
∴當(dāng)時(shí)偶數(shù)時(shí)，
，
當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，
若，則
若 則
第三問（3）， ，
令，得，由于，，

的最大值為
（1）證明：由題意，（≥2，且），
則，                 ……………2分
又，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，         ……………4分  
∴，
∴{}的通項(xiàng)公式為（）；       ……………6分      
（2）∵{}的通項(xiàng)公式（），
∴當(dāng)時(shí)偶數(shù)時(shí)，
，     ……………8分
當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，
若，則
若 則，………10分
綜上： ；                      ……………11分 
（3），                    ……………12分
，
令，得，由于，，         ……………14分   

的最大值為                              ……………16分