Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且P（a_n，a_n+1）（n∈N⁺）在直線x-y+1=0上，若函數(shù)f（n）=

1

n+a1

+

1

n+a2

+

1

n+a3

+…+

1

n+an

（n∈N^*，且n≥2），函數(shù)f（n）的最小值

 

．

Answer 1

分析：由題意可得，a_n+1-a_n=1，從而可得a_n=1+（n-1）×1=n，f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

，通過判斷f（n）的 單調(diào)性確定取得最小值

解答：解：由題意可得，a_n+1-a_n=1
數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，公差為1
∴a_n=1+（n-1）×1=n
∴f（n）=

1

n+a1

+

1

n+a2

+

1

n+a3

+…+

1

n+an

=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

則f(n+1)-f(n)=

1

n+2

+

1

n+3

+…

1

n+n

+

1

n+n+1

+

1

2n+2

-（

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

）
=

1

2n+2

+

1

2n+1

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2n+2

＞0
∴f（n+1）＞f（n）
即f（n）為遞增的數(shù)列，則當(dāng)n=2時，f（n）有最小值f（2）=

1

3

+

1

4

=

7

12

故答案為：

7

12

．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式的求解即根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列的最大項的問題，解題的關(guān)鍵是判斷數(shù)列的單調(diào)性．