已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=c-
1
an

(Ⅰ)設(shè)c=
5
2
,bn=
1
an-2
,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求使不等式an<an+1<3成立的c的取值范圍.
分析:(1)令c=
5
2
代入到an+1=c-
1
an
中整理并令bn=
1
an-2
進(jìn)行替換,得到關(guān)系式bn+1=4bn+2,進(jìn)而可得到{bn+
2
3
}是首項(xiàng)為-
1
3
,公比為4的等比數(shù)列,先得到{bn+
2
3
}的通項(xiàng)公式,即可得到數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
(2)先求出n=1,2時(shí)的c的范圍,然后用數(shù)學(xué)歸納法分3步進(jìn)行證明當(dāng)c>2時(shí)an<an+1,然后當(dāng)c>2時(shí),令α=
c+
c2-4
2
,根據(jù)由an+
1
an
an+1+
1
an
=c得an<α
可發(fā)現(xiàn)c>
10
3
時(shí)不能滿足條件,進(jìn)而可確定c的范圍.
解答:解:(1)an+1-2=
5
2
-
1
an
-2=
an-2
2an

1
an+1-2
=
2an
an-2
=
4
an-2
+2
,即bn+1=4bn+2
bn+1+
2
3
=4(bn+
2
3
)
,a1=1,故b1=
1
a1-2
=-1

所以{bn+
2
3
}是首項(xiàng)為-
1
3
,公比為4的等比數(shù)列,
bn+
2
3
=-
1
3
×4n-1
,bn=-
4n-1
3
-
2
3

(Ⅱ)a1=1,a2=c-1,由a2>a1得c>2.
用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)c>2時(shí)an<an+1
(。┊(dāng)n=1時(shí),a2=c-
1
a1
>a1,命題成立;
(ii)設(shè)當(dāng)n=k時(shí),ak<ak+1
則當(dāng)n=k+1時(shí),ak+2=c-
1
ak+1
>c-
1
ak
=ak+1

故由(i)(ii)知當(dāng)c>2時(shí),an<an+1
當(dāng)c>2時(shí),令α=
c+
c2-4
2
,由an+
1
an
an+1+
1
an
=c得an<α

當(dāng)2<c≤
10
3
時(shí),an<α≤3
當(dāng)c>
10
3
時(shí),α>3且1≤an<α
于是α-an+1=
1
anα
(α-an)≤
1
3
(α-an)

α-an+1
1
3n
 (α-1)

當(dāng)n<log3
α-1
α-3
時(shí),α-an+1<α-3,an+1>3

因此c>
10
3
不符合要求.
所以c的取值范圍是(2,
,10
3
].
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的定義、遞推數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,同時(shí)考查分析、歸納、探究和推理論證問題的能力,在解題過程中也滲透了對(duì)函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想的考查.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)
,則
lim
n→∞
an
=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=
an
1+2an
,則{an}的通項(xiàng)公式an=
1
2n-1
1
2n-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{
2n
an
}
的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=
1
2
,Sn
為數(shù)列的前n項(xiàng)和,且Sn
1
an
的一個(gè)等比中項(xiàng)為n(n∈N*
),則
lim
n→∞
Sn
=
1
1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(  )
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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