分析:(1)令c=
代入到a
n+1=c-
中整理并令b
n=
進(jìn)行替換,得到關(guān)系式b
n+1=4b
n+2,進(jìn)而可得到{
bn+}是首項(xiàng)為-
,公比為4的等比數(shù)列,先得到{
bn+}的通項(xiàng)公式,即可得到數(shù)列{b
n}的通項(xiàng)公式.
(2)先求出n=1,2時(shí)的c的范圍,然后用數(shù)學(xué)歸納法分3步進(jìn)行證明當(dāng)c>2時(shí)a
n<a
n+1,然后當(dāng)c>2時(shí),令α=
,根據(jù)由
an+<an+1+=c得an<α可發(fā)現(xiàn)c>
時(shí)不能滿足條件,進(jìn)而可確定c的范圍.
解答:解:(1)
an+1-2=--2=,
==+2,即b
n+1=4b
n+2
bn+1+=4(bn+),a
1=1,故
b1==-1所以{
bn+}是首項(xiàng)為-
,公比為4的等比數(shù)列,
bn+=-×4n-1,
bn=--(Ⅱ)a
1=1,a
2=c-1,由a
2>a
1得c>2.
用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)c>2時(shí)a
n<a
n+1.
(。┊(dāng)n=1時(shí),a
2=c-
>a
1,命題成立;
(ii)設(shè)當(dāng)n=k時(shí),a
k<a
k+1,
則當(dāng)n=k+1時(shí),
ak+2=c->c-=ak+1故由(i)(ii)知當(dāng)c>2時(shí),a
n<a
n+1當(dāng)c>2時(shí),令α=
,由
an+<an+1+=c得an<α當(dāng)2<c≤
時(shí),a
n<α≤3
當(dāng)c>
時(shí),α>3且1≤a
n<α
于是
α-an+1=(α-an)≤(α-an)α-an+1= (α-1)當(dāng)n<
log3時(shí),α-an+1<α-3,an+1>3因此c>
不符合要求.
所以c的取值范圍是(2,
].
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的定義、遞推數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,同時(shí)考查分析、歸納、探究和推理論證問題的能力,在解題過程中也滲透了對(duì)函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想的考查.