Question

已知函數(shù)f(x)=-

1

3

x3+x2+ax+b(a，b∈R）．
（Ⅰ）若a=3，試確定函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在其圖象上任意一點（x₀，f（x₀））處切線的斜率都小于2a²，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a=3代入后對函數(shù)f（x）求導，導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調遞增，導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調遞減．
（2）根據(jù)導數(shù)的幾何意義可將題轉化為求使得f'（x）=-x²+2x+a＜2a²對任意x∈R恒成立的a的取值范圍，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質可解題．

解答：（Ⅰ）解：當a=3時，f(x)=-

1

3

x3+x2+3x+b，所以f^/（x）=-x²+2x+3，
由f'（x）＞0，解得-1＜x＜3，由f'（x）＜0，解得x＜-1或x＞3，
所以函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為（-1，3），減區(qū)間為（-∞，-1）和（3，+∞）．
（Ⅱ）解：因為f'（x）=-x²+2x+a，
由題意得：f'（x）=-x²+2x+a＜2a²對任意x∈R恒成立，
即-x²+2x＜2a²-a對任意x∈R恒成立，
設g（x）=-x²+2x，所以g（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，
所以當x=1時，g（x）有最大值為1，
因為對任意x∈R，-x²+2x＜2a²-a恒成立，
所以2a²-a＞1，解得a＞1或a＜-

1

2

，
所以，實數(shù)a的取值范圍為{a|a＞1或a＜-

1

2

}．

點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調性與其導函數(shù)的正負之間的關系．屬中檔題．