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已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)，其左、右兩焦點分別為F1、F2．直線L經過橢圓C的右焦點F2，且與橢圓交于A、B兩點．若A、B、F1構成周長為4
2
的△ABF1，橢圓上的點離焦點F2最遠距離為
2
+1，且弦AB的長為
4
2
3
，求橢圓和直線L的方程．
分析：由題意知，a，b，c滿足
4a=4
2
 
a+c=
2
+1		 
a2=b2+c2
，解方程即可得到橢圓的方程，再由弦AB的長為
4
2
3
，得到
[(x1+x2)2-4x1x2](1+k2)
=
4
2
3
，聯(lián)立直線與橢圓方程得到
x1+x2=
4k2
1+2k2
x1x2=
2k2-2
1+2k2
  代入上式，即可得到k，繼而求出直線L的方程．
解答：解：依題意，設該橢圓的焦距為2c，
則
4a=4
2
 
a+c=
2
+1		 
a2=b2+c2
，
解得a=
2
，b=c=1，
所以橢圓方程為
x2
2
+y2=1，
由題意可設直線L的方程為y=k（x-1），
聯(lián)立直線與橢圓方程得到
y=k(x-1)
x2
2
+y2=1
，
整理得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，
若A，B兩點的橫坐標為x1，x2，
則
x1+x2=
4k2
1+2k2
x1x2=
2k2-2
1+2k2
   （*），
△=16k4-8（k2-1）（1+2k2）＞0，
又由弦AB的長為
4
2
3
，
則
[(x1+x2)2-4x1x2](1+k2)
=
4
2
3

將（*）式代入得k2=1，即k=±1
所以所求橢圓方程為
x2
2
+y2=1，直線方程為y=x-1或y=-x+1．
點評：本題考橢圓的簡單性質，著重考查橢圓定義的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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