Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂．
（1）若橢圓C上的點(diǎn)A（1，

3

2

）到F₁，F(xiàn)₂的距離之和為4，求橢圓C的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若M，N是C上關(guān)于（0，0）對稱的兩點(diǎn)，P是C上任意一點(diǎn)，直線PM，PN的斜率都存在，記為k_PM，k_PN，求證：k_PM與k_PN之積為定值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)點(diǎn)A到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和求得a，進(jìn)而把A點(diǎn)代入橢圓方程求得b，則c可得，進(jìn)而可求得橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），根據(jù)點(diǎn)的對稱性可求得N的坐標(biāo)，代入橢圓方程設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，則利用斜率公式可分別表示出PM和PN的斜率，求得二者乘積的表達(dá)式，把y²=3-

3

4

x²，n²=3-

3

4

m²代入結(jié)果為常數(shù)，原式得證．

解答：解：（1）橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，由橢圓上的點(diǎn)A到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和是4，得2a=4，即a=2．又點(diǎn)A（1，

3

2

））在橢圓上，因此

1

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1得b²=3，于是c²=1．所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，焦點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-m，-n），其中

m2

4

+

n2

3

=1．
又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由k_PM=

y-n

x-m

，k_PN=

y+n

x+m

得k_PM•k_PN=

y+n

x+m

•

y-n

x-m

=

y2-n2

x2-m2

將y²=3-

3

4

x²，n²=3-

3

4

m²代入得k_PM•k_PN=-

3

4

故k_PM與k_PN之積為定值．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線的斜率，橢圓的性質(zhì)，考查了學(xué)生分析推理和基本的運(yùn)算能力．