Question

如圖，將甲圖中邊長(zhǎng)為

5 2 +2

2

的正方形鐵皮，適當(dāng)剪下圓O和扇形A-EPF，使得它們恰好構(gòu)成乙圖中圓錐的底面和側(cè)面，則所得圓錐的體積為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)圓錐底面圓的半徑是r，母線為l，根據(jù)直線與圓相切、圓與圓相切的性質(zhì)，結(jié)合正方形的邊長(zhǎng)為

5 2 +2

2

得到l+（1+

2

）r=5+

2

．再由扇形的弧長(zhǎng)正好等于底面圓的周長(zhǎng)，算出l=4r，從而解出r=1，進(jìn)而可得此圓錐的體積．

解答：解：根據(jù)題意，欲在正方形內(nèi)裁剪出圓錐的底面，則圓錐的底面圓與正方形的邊和以A為中心角的扇形的弧都相切，
設(shè)圓錐底面圓的半徑是r，母線為l，
可得AC=A0+C0=5+

2

，即l+（1+

2

）r=5+

2

．
∵扇形的弧長(zhǎng)正好等于底面圓的周長(zhǎng)，即

1

4

πl(wèi)=2πr，解之得l=4r，
∴兩式聯(lián)解可得r=1，
由此可得l=4，圓錐的高h(yuǎn)=

l2-r2

=

15

，
∴圓錐的體積V=

1

3

πr2h=

15

3

π．
故答案為：

15

3

π

點(diǎn)評(píng)：本題將正方形裁剪出圓錐的平面展開(kāi)圖形，求該圓錐的體積．著重考查了正方形的性質(zhì)、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖、直線與圓相切的性質(zhì)和圓與圓相切的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．