已知數(shù)學(xué)公式（-1＜x＜1）
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）若a，b∈（-1，1），證明：數(shù)學(xué)公式；
（3）證明對(duì)任意常數(shù)k∈R，f（x）=k有且僅有一解．

解：（1）
又x∈（-1，1），所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
（2）若a、b∈（-1，1），f（a）+f（b）=lg +lg =lg ，
f（ ）=lg =lg ，∴f（a）+f（b）=f（ ）．
（3）設(shè)-1＜x＜1，△x=x2-x1＞0，
因?yàn)?-x1＞1-x2＞0；1+x2＞1+x1＞0所以
所以 所以函數(shù) 在（-1，1）上是增函數(shù)．
從而對(duì)任意常數(shù)k∈R，f（x）=k有且僅有一解．
分析：（1）先求定義域，看是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再用定義判斷．
（2）若a、b∈（-1，1），先化簡(jiǎn)f（a）+f（b），再化簡(jiǎn)f（ ）的解析式，然后作比較發(fā)現(xiàn)是相等的式子．
（2）用單調(diào)性定義證明，先在定義域上任取兩個(gè)變量，且界定大小，再作差變形，與0比較．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，證明奇偶性一般用定義，證明單調(diào)性可用定義或?qū)?shù)法．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
a
=(1-cosx，2sin
x
2
)，
b
=(1+cosx，2cos
x
2
)，設(shè)f(x)=2+sinx-
1
4
|
a
-
b
|2
（1）若函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在[-
π
2
，
π
2
]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出下列四個(gè)命題：
（1）已知函數(shù)f（x）=
1
2
x2   x≤2
log2(x+a)  x＞2
在定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù)，數(shù)列{an}通項(xiàng)公式為an=
1
an
，則數(shù)列{an}的所有項(xiàng)之和為1．
（2）過(guò)點(diǎn)P（3，3）與曲線（x-2）2-
(y-1)2
4
=1有唯一公共點(diǎn)的直線有且只有兩條．
（3）向量
a
=(x2，x+1)，
b
=(1-x，t)，若函數(shù)f（x）=
a
•
b
在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（5，+∞）；
（4）我們定義非空集合A的真子集的真子集為A的“孫集”，則集合{2，4，6，8，10}的“孫集”有26個(gè)．
其中正確的命題有
（1）（2）（4）
（1）（2）（4）
（填序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2014屆廣東省高一期中考試文科數(shù)學(xué)試卷A卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)＝，a≠0，f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的實(shí)數(shù)x只有一個(gè)．

(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；

(2)若數(shù)列{an}滿足a1＝，an+1＝f(an)，bn＝－1，n∈N*，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求出{bn}的通項(xiàng)公式；

(3)在(2)的條件下，證明：a1b1＋a2b2＋…＋anbn<1(n∈N*)．

【解析】解： (1)由f(x)＝，f(1)＝1，得a＝2b＋1.

由f(x)＝2x只有一解，即＝2x，

也就是2ax2－2(1＋b)x＝0(a≠0)只有一解，

∴b＝－1.∴a＝－1.故f(x)＝.…………………………………………4分

(2)an＋1＝f(an)＝(n∈N*)，bn＝－1， ∴＝＝＝，

∴{bn}為等比數(shù)列，q＝.又∵a1＝，∴b1＝－1＝，

bn＝b1qn－1＝n－1＝n(n∈N*)．……………………………9分

(3)證明：∵anbn＝an＝1－an＝1－＝，

∴a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝＋＋…＋<＋＋…＋

＝＝1－<1(n∈N*)．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：單選題

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-2，+∞），部分對(duì)應(yīng)值如下表．f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示．若實(shí)數(shù)a滿足f（2a+1）＜1，則a的取值范圍是
x-204
f（x）1-11


  1. A.
    數(shù)學(xué)公式
  2. B.
    數(shù)學(xué)公式
  3. C.
    數(shù)學(xué)公式
  4. D.
    數(shù)學(xué)公式

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2008-2009學(xué)年江蘇省揚(yáng)州中學(xué)高三（下）2月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=x2，，g（x）=x-1．
（1）已知函數(shù)ψ（x）=logmx-2x，如果是增函數(shù)，且h（x）的導(dǎo)函數(shù)h'（x）存在正零點(diǎn)，求m的值．
（2）設(shè)F（x）=f（x）-tg（x）+1-t-t2，且|F（x）|在[0，1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
（3）試求實(shí)數(shù)p的個(gè)數(shù)，使得對(duì)于每個(gè)p，關(guān)于x的方程xf（x）=pg（x）+2p+1都有滿足|x|＜2009的偶數(shù)根．

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