Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x+alnx，若函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

A．a(chǎn)≥0

B．a(chǎn)＜-4

C．a(chǎn)≥0或a≤-4

D．a(chǎn)＞0或a＜-4

Answer 1

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)，所以在x∈（0，1）時(shí)，f^′（x）≥0或f^′（x）≤0恒成立，分離變量后利用二次函數(shù)的單調(diào)性求最值，從而得到a的范圍．

解答：解：由f（x）=x²+2x+alnx，所以f′(x)=2x+2+

a

x

=

2x2+2x+a

x

，
若函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)，則當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f^′（x）≥0或f^′（x）≤0恒成立，
即2x²+2x+a≥0①，或2x²+2x+a≤0②在（0，1）上恒成立，
由①得，a≥-2x²-2x，由②得，a≤-2x²-2x，
因?yàn)閥=-2x²-2x的圖象開(kāi)口向下，且對(duì)稱(chēng)軸為-

1

2

，所以在（0，1）上，y_max=0，y_min=-4
所以a的范圍是a≥0或a≤-4．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，訓(xùn)練了利用二次函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，是中檔題．