Question

（2013•南京二模）選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣A=

3       5 0    -2

．
（1）求矩陣A的特征值和特征向量；
（2）設(shè)向量β=

1    -1

，求A⁵β．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意給出矩陣A的特征多項(xiàng)式f（λ）=（λ-3）（λ+2），從而解出兩個(gè)特征值分別為3和-2．再分別將3和-2回代到二元一次方程組，即可解出相應(yīng)的特征向量．
（2）由（1）的結(jié)論得向量β是矩陣A的屬于特征值-2的一個(gè)特征向量，利用特征向量的定義與性質(zhì)即可算出A⁵β的值．

解答：解：（1）矩陣A的特征多項(xiàng)式為f（λ）=

.

λ-3 -5 0 λ+2

.

=（λ-3）（λ+2）
令f（λ）=0，得λ=3或λ=-2
將λ=3代入二元一次方程組，得

0•x-5y=0 0•x+5y=0

，解之得y=0
∴矩陣A屬于特征值3的特征向量為

1   0

將λ=-2代入二元一次方程組，得

-5x-5y=0 0•x+0•y=0

，取x=1得y=-1
∴矩陣A屬于特征值-2的特征向量為

1   -1

；
（2）由（1）知，向量β是矩陣A的屬于特征值-2的一個(gè)特征向量
∴A⁵β=λ⁵β=-32

1   -1

=

32   -32

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出二階矩陣，求矩陣A的特征值和特征向量．著重考查了特征向量的定義、求法及其性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．