設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列,an<an+1且前6項(xiàng)的平方和為70,立方和為0.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),直線(xiàn)ln的斜率為an,且與曲線(xiàn)y=x2相切,與y軸交于Bn,記bn=|Bn+1Bn|,求bn
(3)對(duì)于(2)問(wèn)中數(shù)列{bn}求證:
【答案】分析:(1)依題意有,由于{an}為等差數(shù)列,得到:a1+a6=a2+a5=a3+a4化簡(jiǎn)得到:
解得首項(xiàng)和公差,從而得出{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)ln的方程為y=anx+m,將直線(xiàn)的方程代入圓的方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,再結(jié)合直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切即可求得,從而求得求bn解決問(wèn)題.
(3)先利用|sinb1+sinb2+…+sinbn|===,再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可證得結(jié)論.
解答:解:(1)依題意有
∵{an}為等差數(shù)列,∴a1+a6=a2+a5=a3+a4
若a1+a6>0,則a13+a63=(a1+a6)(a12+a1a6+a62)>0
∴a13+a23+…+a63>0同理,若a1+a6<0,則a13+a23+…+a63<0
∴a1+a6=a2+a5=a3+a4=0⇒a12+a22+…+a62=2(a12+a22+a32)=70
設(shè){an}的公差為d,an<an+1
∴d>0

∴an=2n-7
(2)設(shè)ln的方程為y=anx+m由得x2-anx-m=0
∵直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切∴△=0
;
(3)|sinb1+sinb2+…+sinbn|=
=
=
∵cos5>0,


點(diǎn)評(píng):本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列與不等式的綜合、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a1=1,點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+4x+2的圖象上,其中n=1,2,3,4,…
(1)證明:數(shù)列{lg(an+2)}是等比數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列{an+2}的前n項(xiàng)積為T(mén)n,求Tn及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)已知bn
1
an+1
1
an+3
的等差中項(xiàng),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:
3
8
Sn
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,已知對(duì)任意n∈N*,Sn是an2和an的等差中項(xiàng).
(Ⅰ)證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)證明
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
<2;
(Ⅲ)設(shè)集合M={m|m=2k,k∈Z,且1000≤k<1500},若存在m∈M,使對(duì)滿(mǎn)足n>m的一切正整數(shù)n,不等式Sn-1005>
a
2
n
2
恒成立,求這樣的正整數(shù)m共有多少個(gè)?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx滿(mǎn)足條件:①f(0)=f(1);  ②f(x)的最小值為-
1
8

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為T(mén)n,且Tn=(
4
5
f(n),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)在(2)的條件下,若5f(an)是bn與an的等差中項(xiàng),試問(wèn)數(shù)列{bn}中第幾項(xiàng)的值最。壳蟪鲞@個(gè)最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,已知對(duì)任意n∈N*,Sn
1
2
an2和an的等差中項(xiàng)
(Ⅰ)證明:數(shù)列為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)證明:
1
2
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
<1

(Ⅲ)設(shè)集合M={m|m=2k,k∈Z,且1000≤k<1500},若存在m∈M,使對(duì)滿(mǎn)足n>m的一切正整數(shù)n,不等式2Sn-4200>
a
2
n
2
恒成立,試問(wèn):這樣的正整數(shù)m共有多少個(gè).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1=b1=1,b1+b2=a2,b3是a1與a4的等差中項(xiàng).
(I)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(II)求數(shù)列{
anbn
}的前n項(xiàng)和Sn

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