Question

【題目】若函數(shù)在(0, 2π)內(nèi)有兩個不同零點、。

(1)求實數(shù)的取值范圍；

(2)求的值。

Answer 1

【答案】（1）a的取值范圍是(-2, -)∪(-, 2).

（2）.

【解析】

（1）由于，故可將問題轉(zhuǎn)化為方程sin(x+在(0, 2π)內(nèi)有相異二解，由條件得到，結(jié)合函數(shù)的圖象可得所求范圍．（2）根據(jù)、為函數(shù)的零點可得sinα+cosα+=0且sinβ+cosβ+=0，將兩式相減并結(jié)合和差化積公式可得tan，從而可得所求．

(1)由題意得sinx+cosx=2(sinx+cosx)=2 sin(x+)，

∵函數(shù)在(0, 2π)內(nèi)有兩個不同零點，

∴關(guān)于x的方程sinx+cosx+a=0在(0, 2π)內(nèi)有相異二解，

∴方程sin在(0, 2π)內(nèi)有相異二解．

∵0<2π，

∴．

結(jié)合圖象可得若方程有兩個相異解，則滿足且，

解得且．

∴實數(shù)的取值范圍是．

(2) ∵ 是方程的相異解，

∴ sinα+cosα+=0 ①

sinβ+cosβ+=0 ②

①②得(sinαsinβ)+( cosαcosβ)=0，

∴ 2sincos2sinsin，

又sin≠0，

∴ tan，

∴ ．