Question

已知向量=（sin（），），=（cos（），），（ω＞0，x≥0），函數(shù)f（x）=的第n（n∈N^*）個(gè)零點(diǎn)記作x_n（從左向右依次計(jì)數(shù)），則所有x_n組成數(shù)列{x_n}．
（1）若，求x₂；
（2）若函數(shù)f （x）的最小正周期為π，求數(shù)列{x_n}的前100項(xiàng)和S₁₀₀．

Answer 1

【答案】分析：（1）若，可得函數(shù)f（x）=的解析式，由f（x）=0，可得 sin=- （x≥0），故有x=4kπ+，或x=4kπ+，k∈z，由此可得第二個(gè)零點(diǎn)的值．
（2）由函數(shù)f （x）的最小正周期為π，求得ω=2，可得 函數(shù)f（x）=sin2x+．令f（x）=0，可得 sin2x=-，故有x=kπ+，或x=kπ+，k∈z．由此可得S₁₀₀=+= 運(yùn)算求得結(jié)果．
解答：解：（1）若，則向量=（sin，），=（cos，），
函數(shù)f（x）==sin+．
由f（x）=0，可得 sin=- （x≥0），故有 =2kπ+，或 =2kπ+．
∴x=4kπ+，或x=4kπ+，k∈z．
自左向右第一個(gè)零點(diǎn)為 x=，第二個(gè)零點(diǎn)為x=，即 x₂=．
（2）∵函數(shù)f （x）的最小正周期為π，則ω=2，
∴函數(shù)f（x）==（sinx，）•（cosx，）=sinxcosx+=sin2x+．
令f（x）=0，可得 sin2x=-，∴2x=2kπ+，或2x=2kπ+，k∈z．
即 x=kπ+，或x=kπ+，k∈z．
∴S₁₀₀=+==50×49π+50×=2525π．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，函數(shù)的零點(diǎn)的定義和求法，三角函數(shù)的周期性，兩角和差的正弦公式，等差數(shù)列求和，屬于中檔題．