Question

．(本小題滿分14分)已知函數(shù)f (x)=lnx，g(x)=e^x．
( I)若函數(shù)φ (x) = f (x)－，求函數(shù)φ (x)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)設(shè)直線l為函數(shù)的圖象上一點A(x₀，f (x₀))處的切線．證明：在區(qū)間(1，+∞)上存在唯一的x₀，使得直線l與曲線y=g(x)相切．

Answer 1

解：（Ⅰ） ，
．·················· 2分
∵且，
∴
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．··············· 4分
（Ⅱ）∵ ，∴，
∴ 切線的方程為,
即, 　　① ··················· 6分
設(shè)直線與曲線相切于點，
∵，∴，∴．··············· 8分
∴直線也為，
即， ②···················· 9分
由①②得 ，
∴．·························· 11分
下證：在區(qū)間（1，+）上存在且唯一.
由（Ⅰ）可知，在區(qū)間上遞增．
又，，······ 13分
結(jié)合零點存在性定理，說明方程必在區(qū)間上有唯一的根，這個根就是所求的唯一．                                               
故結(jié)論成立．

略