Question

函數(shù)f（x）=sinxcosx+cos²x．
（1）求f（x）的最小正周期和在[0，

π

2

]上的最大值及最小值；
（2）若A為△ABC的內(nèi)角，若f(

A

2

)=1，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）將f（x）解析式第一項利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，第二項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

，即可求出函數(shù)的最小正周期；由下的范圍，得到這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象可得出函數(shù)的值域，進而確定出f（x）的最大值與最小值；
（2）由f（

A

2

）=1將x=

A

2

代入函數(shù)解析式中，求出sin（A+

π

4

）的值，由A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A為直角，可得出此三角形為直角三角形．

解答：解：（1）f（x）=sinxcosx+cos²x
=

1

2

sin2x+

1

2

（1+cos2x）
=

2

2

（

2

2

sin2x+

2

2

cos2x）+

1

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
又0≤x≤

π

2

，∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，
∴-

2

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1，
則f（x）_max=f（

π

8

）=

2 +1

2

，f（x）_min=f（

π

2

）=0；
（2）由f（

A

2

）=sin（A+

π

4

）+

1

2

=1，得sin（A+

π

4

）=

2

2

，
又0＜A＜π，∴A+

π

4

=

3π

4

，解得：A=

π

2

，
則△ABC為直角三角形．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，三角函數(shù)的周期性及其求法，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．