Question

已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，S_n為其前n項(xiàng)和，且a₂=3，4S₂=S₄．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證數(shù)列{2^a_n}是等比數(shù)列；
（3）求使得S_n+2＞2S_n的成立的n的集合．

Answer 1

分析：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，由題意得：

a1+d=3 4×(2a1+d)=4a1+6d

，解方程可得
（2）要證明數(shù)列{2an為等比數(shù)列，只要證明依題

2an

2an-1

為常數(shù)
（3）由（1）可求S_n，然后代入不等式S_n+2＞2S_n，結(jié)合n∈N^*可求n的值

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d
由題意得：

a1+d=3 4×(2a1+d)=4a1+6d

解得：a₁=1，d=2∴a_n=2n-1
（2）依題

2an

2an-1

=

22n-1

22n-3

=4，
數(shù)列{2an}是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列
（3）由a₁=1，d=2，a_n=2n-1得S_n=n²

∴Sn+2＞2Sn?(n+2)2＞2n2?(n-2)2＜8 ∴n=1，2，3，4 故n的集合為：{1，2，3，4}

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用等，差數(shù)列的基本量表示等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的求解，及利用定義證明等比數(shù)列的綜合應(yīng)用．