Question

多面體EF-ABCD中，ABCD為正方形，BE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，AB=
CF=2BE．
（Ⅰ）求證：DE⊥AC；
（Ⅱ）求平面EFD與平面ABCD所成的銳二面角．

Answer 1

（Ⅰ）證明：連接BD
∵BE⊥平面ABCD
∴BD為DE為在底面ABCD上的射影
∴在正方形ABCD中，AC⊥BD…
∴DE⊥AC…4分
（Ⅱ）解：延長FE與CB，交于點(diǎn)G，連接DG，則DG為平面EFD與平面ABCD的交線，
過C作CH⊥DG交DG于H，連接FH
∵FC⊥平面ABCD，
∴CH為FH在面ABCD上的射影
∴FH⊥DG
∴∠FHC為二面角F-DG-C的平面角 8分
設(shè)BE=1，在△DCG中，
在△FCH中，F(xiàn)C=2，
∴
∴所求銳二面角為…12分
分析：（Ⅰ）根據(jù)BE⊥平面ABCD，可知BD為DE為在底面ABCD上的射影，在正方形ABCD中，AC⊥BD，故可利用三垂線定理即得結(jié)論；
（Ⅱ）先作出二面角F-DG-C的平面角，延長FE與CB，交于點(diǎn)G，連接DG，則DG為平面EFD與平面ABCD的交線，過C作CH⊥DG交DG于H，連接FH，則∠FHC為二面角F-DG-C的平面角，從而可求銳二面角．
點(diǎn)評：本題以多面體為載體，考查線面垂直，考查三垂線定理，考查面面角，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用三垂線定理，作出面面角．