Question

（08年福建卷理）（本小題滿分14分）

　　　已知函數(shù).

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

　　（Ⅱ）記在區(qū)間（n∈N*）上的最小值為，令.

        ① 如果對(duì)一切n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；

() 求證：.

Answer 1

 解析：解法一：

（I）因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090323/20090323143635001.gif' width=125>，所以函數(shù)定義域?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090323/20090323143635002.gif' width=57>，且。

由得，的單調(diào)遞增區(qū)間為；

由<0得，的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+）.

（Ⅱ）因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090323/20090323143636006.gif' width=36>在上是減函數(shù)，所以，

則.

()

又,

因此，即實(shí)數(shù)c的取值范圍是.

()  由①知

因?yàn)?IMG height=52 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090323/20090323143637020.gif' width=137>

所以＜，

則

 .

解法二：

（I）同解法一。

（Ⅱ）因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090323/20090323143636006.gif' width=36>在上是減函數(shù)，所以，

則.

() 因?yàn)?IMG height=48 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090323/20090323143639028.gif' width=139>對(duì)恒成立，

所以對(duì)恒成立。

     則對(duì)恒成立。

     設(shè)，，則對(duì)恒成立。

     考慮。

     因?yàn)?IMG height=48 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090323/20090323143640035.gif' width=397>

     在內(nèi)是減函數(shù)；則當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小。

     又因?yàn)?IMG height=45 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090323/20090323143641040.gif' width=355>

                   。

所以對(duì)一切，。因此，即實(shí)數(shù)c的取值范圍是.

()  由()知

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

 ，

① 當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，不等式成立。

② 假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立.即。

          當(dāng)時(shí)，

         

         

。

即時(shí)，不等式成立.

綜合①、②得， 成立。

所以

。

 .

【高考考點(diǎn)】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、不等式、數(shù)列等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分析問題和解決問題的能力，滿分14分.

【易錯(cuò)提醒】第一問中導(dǎo)數(shù)記不住公式

【備考提示】此題為壓軸題,所以平時(shí)可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)放棄一些自己能力范圍之外的題目,把多余的時(shí)間多花點(diǎn)在中低檔題目上,可是80%的分?jǐn)?shù)呀,多么可觀,可是縱觀歷年的高考成績(jī)來看又有多少人真正的做到了這120分?