如圖所示,半圓O的直徑為2,A為半圓直徑的延長線上的一點,且OA=2,B為半圓上任一點,以AB為邊作等邊△ABC,問B在什么地方時,四邊形OACB的面積最大?并求出這個面積的最大值.

【答案】分析:本題考查的知識是余弦定理,及正弦型函數(shù)的性質(zhì),由于∠AOB的大小不確定,故我們可以設(shè)∠AOB=θ,并根據(jù)余弦定理,表示出△ABC的面積及△OAB的面積,進(jìn)而表示出四邊形OACB的面積,并化簡函數(shù)的解析式為正弦型函數(shù)的形式,再結(jié)合正弦型函數(shù)最值的求法進(jìn)行求解.
解答:解:四邊形OACB的面積=△OAB的面積+△ABC的面積
設(shè)∠AOB=θ,
則△ABC的面積=
=
=
△OAB的面積=•OA•OB•sinθ
=•2•1•sinθ=sinθ
四邊形OACB的面積==
∴當(dāng)θ-60°=90°,
即θ=150°時,四邊形OACB的面積最大,
其最大面積為
點評:函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中,最大值或最小值由A確定,由周期由ω決定,即要求三角函數(shù)的周期與最值一般是要將其函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù),再根據(jù)最大值為|A|,最小值為-|A|,周期T=進(jìn)行求解.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)高一上學(xué)期期末測試卷高一數(shù)學(xué)[上學(xué)期] 題型:044

已知點T是半圓O的直徑AB上一點,AB=2、OT=t(0<t<1),以AB為直腰作直角梯形,使垂直且等于AT,使垂直且等于BT,交半圓于P、Q兩點,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

(Ⅰ)寫出直線的方程;

(Ⅱ)計算出點P、Q的坐標(biāo);

(Ⅲ)證明:沿PT射出的光線,經(jīng)AB反射后,反射光線通過點Q.

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