Question

已知過點P（0，2）的直線l與拋物線C：y²=4x交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點．
（1）若以AB為直徑的圓經(jīng)過原點O，求直線l的方程；
（2）若線段AB的中垂線交x軸于點Q，求△POQ面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線AB的方程為y=kx+2（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y2=4x y=kx+2

，得k²x²+（4k-4）x+4=0，由△=（4k-4）²-16k²＞0，得k＜

1

2

，由x1+x2=-

4k-4

k2

=

4-4k

k2

，x1x2=

4

k2

，知y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=

8

k

，由以AB為直徑的圓經(jīng)過原點O，能求出直線l的方程．
（2）設(shè)線段AB的中點坐標(biāo)為（x₀，y₀），由x0=

x1+x2

2

=

2-2k

k2

，得y0=kx0+2=

2

k

，故線段AB的中垂線方程為y-

2

k

=-

1

k

(x-

2-2k

k2

)，由此能求出△POQ面積的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的方程為y=kx+2（k≠0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y2=4x y=kx+2

，得k²x²+（4k-4）x+4=0，
則由△=（4k-4）²-16k²=-32k+16＞0，得k＜

1

2

，
x1+x2=-

4k-4

k2

=

4-4k

k2

，x1x2=

4

k2

，
所以y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=

8

k

，
因為以AB為直徑的圓經(jīng)過原點O，
所以∠AOB=90°，
即

OA

•

OB

=0，
所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

4

k2

+

8

k

=0，
解得k=-

1

2

，
即所求直線l的方程為y=-

1

2

x+2．
（2）設(shè)線段AB的中點坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則由（1）得x0=

x1+x2

2

=

2-2k

k2

，y0=kx0+2=

2

k

，
所以線段AB的中垂線方程為y-

2

k

=-

1

k

(x-

2-2k

k2

)，
令y=0，得xQ=2+

2-2k

k2

=

2

k2

-

2

k

+2=2(

1

k

-

1

2

)2+

3

2

，
又由（1）知k＜

1

2

，且k≠0，得

1

k

＜0或

1

k

＞2，
所以xQ＞2(0-

1

2

)2+

3

2

=2，
所以S△POQ=

1

2

|PO|•|OQ|=

1

2

×2×|xQ| ＞2，
所以△POQ面積的取值范圍為（2，+∞）．

點評：本題考查直線l的方程的求法和求△POQ面積的取值范圍．考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．