Question

【理科】已知雙曲線的中心在坐標原點O，一條準線方程為x=

3

2

，且與橢圓

x2

25

+

y2

13

=1有共同的焦點．
（1）求此雙曲線的方程；
（2）設直線：y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點，試問：是否存在實數(shù)k，使得以弦AB為直徑的圓過點O？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)．由已知得：c2=12，

a2

c

=

3

2

，則a²=3，b²=9，從而可求雙曲線的標準方程；
（2）將y=kx+3代入

x2

3

-

y2

9

=1得（3-k²）x²-6kx-18=0，從而可得k的范圍．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是上述方程的兩個根，由題意知：OA⊥OB，則x₁x₂+y₁y₂=0，從而可求滿足條件的實數(shù)k．

解答： 解：（1）設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)．
由已知得：c2=12，

a2

c

=

3

2

，則a²=3，b²=9，…（3分）
因此所求雙曲線的標準方程為

x2

3

-

y2

9

=1．…（5分）
（2）存在實數(shù)k，使得以弦AB為直徑的圓過點O，…（6分）
將y=kx+3代入

x2

3

-

y2

9

=1得（3-k²）x²-6kx-18=0，
則由3-k²≠0，△=216-36k²＞0得-

6

＜k＜

6

，k≠±

3

；…（8分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是上述方程的兩個根，
由題意知：OA⊥OB，則x₁x₂+y₁y₂=0，…（10分）
又y₁=kx₁+3，y₂=kx₂+3，
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=

9k2-9

k2-3

=0，
即k=±1滿足條件．…（12分）

點評：本題以橢圓的標準方程為載體，考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關系，解題的關鍵是將問題進行等價轉化．