Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=4 ，AD=2 ，將△ABD沿BD折起，使得點(diǎn)A折起至A′，設(shè)二面角A′﹣BD﹣C的大小為θ．

（1）當(dāng)θ=90°時(shí)，求A′C的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)cosθ= 時(shí)，求BC與平面A′BD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在圖1中，過A作BD的垂線交BD于E，交DC于F，連接CE．

∵AB=4 ，AD=2 ，∴BD= =10．

∴ ，BE= =8，cos∠CBE= = ．

在△BCE中，由余弦定理得CE= =2 ．

∵θ=90°，∴A′E⊥平面ABCD，∴A′E⊥CE．

∴|A′E|= =2 ．

（2）

解：DE= =2．

∵tan∠FDE= ，∴EF=1，DF= = ．

當(dāng) 即cos∠A′EF= 時(shí)， ．

∴A′E2=A′F2+EF2，∴∠A'FE=90°

又BD⊥AE，BD⊥EF，∴BD⊥平面A'EF，∴BD⊥A'F

∴A'F⊥平面ABCD．

以F為原點(diǎn)，以FC為x軸，以過F的AD的平行線為y軸，以FA′為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

∴A′（0，0， ），D（﹣ ，0，0），B（3 ，2 ，0），C（3 ，0，0）．

∴ =（0，2 ，0）， =（4 ，2 ，0）， =（ ，0， ）．

設(shè)平面A′BD的法向量為 =（x，y，z），則 ，

∴ ，令z=1得 =（﹣ ，2 ，1）．

∴cos＜ ＞= = = ．

∴BC與平面A'BD所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）過A作BD的垂線交BD于E，交DC于F，連接CE，利用勾股定理及余弦定理計(jì)算AE，CE，由A′E⊥CE得出A′C；（2）利用余弦定理可得A′F= ，從而得出A′F⊥平面ABCD，以F為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，求出 和平面A′BD的法向量 ，則BC與平面A′BD所成角的正弦值為|cos＜ ＞|．