Question

17．已知直線：$\left\{{\begin{array}{l}{x=tcosα+3}\\{y={t}sinα}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）恒過橢圓$\left\{{\begin{array}{l}{x=5cosθ}\\{y=msinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)）的右焦點(diǎn)F．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，求|MF|•|NF|的最大值．

Answer 1

分析 （1）直線過定點(diǎn)（3，0），知焦點(diǎn)F（3，0），可得離心率；
（2）把直線參數(shù)方程與橢圓方程聯(lián)立，利用參數(shù)的幾何意義求|MF|•|NF|的最大值．

解答 解：（1）直線過定點(diǎn)（3，0），知焦點(diǎn)F（3，0），故離心率為$\frac{3}{5}$（5分）
（2）把直線參數(shù)方程與橢圓方程聯(lián)立得：16（tcosα+3）²+25（tsinα）²=25×16，
化簡得（16cos²α+25sin²α）t²+96tcosα-32×8=0，
∴$|{{t_1}{t_2}}|=\frac{32×8}{{16{{cos}^2}α+25{{sin}^2}α}}=\frac{32×8}{{16+9{{sin}^2}α}}≤16$，
∴|MF|•|NF|的最大值為16 （10分）

點(diǎn)評 本題考查直線、橢圓的參數(shù)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查參數(shù)幾何意義的運(yùn)用，屬于中檔題．