Question

19．如圖，已知圓G：x²+y²-2x-$\sqrt{2}$y=0經(jīng)過(guò)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F及上頂點(diǎn)B，過(guò)橢圓外一點(diǎn)（m，0）（m＞a）且傾斜角為$\frac{5}{6}$π的直線l交橢圓于C，D兩點(diǎn)．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若FC⊥FD，求m的值．

Answer 1

分析 （I）圓G：x²+y²-2x-$\sqrt{2}$y=0，分別令y=0，x=0，解出可得橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F，上頂點(diǎn)B，可得c，b，a²=b²+c²，即可得出．
（II）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），直線l的方程為：y=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-m），與橢圓方程聯(lián)立化為：6y²-2$\sqrt{3}$my+m²-6=0，△＞0，解得m²＜12．由FC⊥FD，可得$\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{FD}$=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=$（m+\sqrt{3}{y}_{1}-2）$$（m+\sqrt{3}{y}_{2}-2）$+y₁y₂=0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入解出m即可得出．

解答 解：（I）圓G：x²+y²-2x-$\sqrt{2}$y=0，令y=0，可得x²-2x=0，解得x=2，或0（舍去）．
令x=0，可得y²-$\sqrt{2}$y=0，解得y=$\sqrt{2}$，或0（舍去）．
∴橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F（2，0），上頂點(diǎn)B$（0，\sqrt{2}）$，
∴c=2，b=$\sqrt{2}$，a²=b²+c²=6，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（II）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
直線l的方程為：y=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-m），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}y+x-m=0}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，化為：6y²-2$\sqrt{3}$my+m²-6=0，
△=12m²-24（m²-6）＞0，解得m²＜12．
∴y₁+y₂=$\frac{\sqrt{3}m}{3}$，y₁•y₂=$\frac{{m}^{2}-6}{6}$．
∵FC⊥FD，∴$\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{FD}$=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=$（m-\sqrt{3}{y}_{1}-2）$$（m-\sqrt{3}{y}_{2}-2）$+y₁y₂=0，
∴-$\sqrt{3}$（m-2）（y₁+y₂）+4y₁•y₂+（m-2）²=0，
∴-$\sqrt{3}$（m-2）×$\frac{\sqrt{3}m}{3}$+4×$\frac{{m}^{2}-6}{6}$+（m-2）²=0，
化為：m²-3m=0，m$＞\sqrt{6}$，m²＜12，解得m=3．
∴m=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓線相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．