Question

已知函數(shù)有三個極值點。

（I）證明：；

（II）若存在實數(shù)c，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

(1)利用導數(shù)的符號判定函數(shù)單調(diào)性，以及桉樹的極值，進而證明。

(2) 當時，所以且

即故或反之, 當或時，

總可找到使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

【解析】

試題分析：解：（I）因為函數(shù)有三個極值點,

所以有三個互異的實根.  

設則

當時， 在上為增函數(shù);

當時， 在上為減函數(shù);

當時， 在上為增函數(shù);

所以函數(shù)在時取極大值,在時取極小值.  （3分）

當或時,最多只有兩個不同實根.

因為有三個不同實根, 所以且.

即,且,

解得且故.                 （5分）

（II）由（I）的證明可知，當時, 有三個極值點.

不妨設為（），則

所以的單調(diào)遞減區(qū)間是,

若在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則, 或,

若,則.由（I）知，,于是

若,則且.由（I）知，

又當時，;

因此, 當時，所以且

即故或反之, 當或時，

總可找到使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.             （10分）

考點：導數(shù)的運用

點評：解決的關鍵是利用導數(shù)的符號判定函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的極值，屬于基礎題。