Question

（本小題滿分15分）如圖，四面體C—ABD，CB = CD，AB = AD，

∠BAD = 90°.E、F分別是BC、AC的中點.（Ⅰ）求證：AC⊥BD；（Ⅱ）如何在AC上找一點M，使BF∥平面MED？并說明理由；（Ⅲ）若CA = CB，求證：點C在底面ABD上的射影是線段BD的中點.

Answer 1

（I）略（II）略

解析:

：（Ⅰ）取BD的中點O，連接AO，CO，在△BCD中，

    ∵BC = DC，∴CO⊥BD，同理AO⊥BD

    而AO∩CO = O，∴BD⊥平面AOC，    又平面AOC，∴AC⊥BD.

   （Ⅱ）取FC的中點M，連接EM，DM，    ∵E是BC的中點，∴BF∥EM，

∵平面MED，∴BF∥平面MED，∴FC的中點M即為所求.

   （Ⅲ）∵△ABD是等腰直角三角形，∠BAD = 90°，

∴AO = BO = DO；∵CA = CB = CD，CO是公共邊，

∴△COA≌△COB≌△COD；∴∠COA=90°，即CO⊥AO，

又CO⊥BD，AO∩BD = O，∴CO⊥平面ABD

即點C在底面ABD上的射影是線段BD的中點 。

點評：立體幾何中關于點、線、面的垂直與平行問題應該熟練掌握，是高考常考考點。復習時注意培養(yǎng)自己的空間想象能力，考慮問題要全面，會由圖形表現空間形體，又會由圖形想象出直觀的形象。