Question

已知函數f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0且a≠1）．求證：
（1）函數f（x）的圖象在y軸的一側；
（2）函數f（x）圖象上任意兩點連線的斜率都大于0．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a^x-1＞0得：a^x＞1，a＞1時，函數f（x）的圖象在y軸的右側；當0＜a＜1時，x＜0，函數f（x）的圖象在y軸的左側．所以函數f（x）的圖象在y軸的一側．
（2）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是函數f（x）圖象上任意兩點，且x₁＜x₂，則直線AB的斜率，，再分a＞1和0＜a＜1兩種情況分別進行討論．
解答：證明：（1）由a^x-1＞0得：a^x＞1，
∴當a＞1時，x＞0，即函數f（x）的定義域為（0，+∞），
此時函數f（x）的圖象在y軸的右側；
當0＜a＜1時，x＜0，即函數f（x）的定義域為（-∞，0），
此時函數f（x）的圖象在y軸的左側．
∴函數f（x）的圖象在y軸的一側；

（2）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是函數f（x）圖象上任意兩點，且x₁＜x₂，
則直線AB的斜率，
，
當a＞1時，由（1）知0＜x₁＜x₂，∴，
∴，
∴，∴y₁-y₂＜0，又x₁-x₂＜0，∴k＞0；
當0＜a＜1時，由（1）知x₁＜x₂＜0，∴，
∴，
∴，∴y₁-y₂＜0，又x₁-x₂＜0，∴k＞0．
∴函數f（x）圖象上任意兩點連線的斜率都大于0．
點評：本題考查對數函數的性質和綜合應用，解題時注意分類討論思想的合理應用．