Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log_a（x+b）（a＞0且a≠1），f（x）的反函數(shù)f^-1（x）的圖象與直線y=x的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0、1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)（x，y）是y=f（x）圖象上的點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)(

x

3

，

y

2

)是函數(shù)y=g（x）上的點(diǎn)，求函數(shù)y=g（x）的解析式：
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)g(

kx

3

)-f（x）≥0時(shí)，求x的取值范圍（其中k是常數(shù)，且k≥

3

2

）．

Answer 1

分析：第一問可以利用互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于y=x對(duì)稱進(jìn)行求解．
第二問可根據(jù)點(diǎn)（x，y）是y=f（x）圖象上的點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)(

x

3

，

y

2

)是函數(shù)y=g（x）上的點(diǎn)再結(jié)合第一問可列兩個(gè)式y(tǒng)=f（x）=log₂（x+1），

y

2

=g(

x

3

)然后利用換元求解．
第三問在（1）（2）的條件下代入求解含參不等式，注意對(duì)根的大小進(jìn)行分類討論．

解答：解：（1）由題意知f^-1（x）的圖象與直線y=x的兩個(gè)交點(diǎn)為（0，0），（1，1）
∴函數(shù)f（x）=log_a（x+b）過（0，0），（1，1）兩點(diǎn)
∴

logab=0 loga(1+b)=1

即b=1，a=2
∴f（x）=log₂^（x+1）
（2）∵點(diǎn)（x，y）是y=f（x）圖象上的點(diǎn)
∴y=f（x）=log₂^（x+1）
∵點(diǎn)(

x

3

，

y

2

)是函數(shù)y=g（x）上的點(diǎn)
∴

y

2

=g（

x

3

）嗎
∴

log2(x+1)

2

=g（

x

3

）
用3x代x：g（x）=

log2(3x+1)

2

（3）∵g(

kx

3

)-f（x）≥0
∴l(xiāng)og₂^（kx+1）-2log₂^（x+1）≥0
∴

kx+1 (x+1)2 ≥ 1 x+1＞0

且kx+1＞0且k≥

3

2

∴當(dāng)

3

2

≤k≤2時(shí)   k-2≤x≤0
  當(dāng) k＞2時(shí)  0≤x≤k-2

點(diǎn)評(píng)：此題的綜合性較強(qiáng)，層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣．第二問考查了換元法求解析式，第三問考查了用分類討論的思想接一元二次不等式．