Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，曲線y=f（x）在x=1處的切線方程y=3x+1
（1）若f′（-2）=0，求函數(shù)的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由求導(dǎo)公式求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)在1處的值為3，在-2處的值為0，函數(shù)在1處的值為4，列出方程組求出a，b，c的值；
（2）由（1）求出f′（x），再求出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，即為函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；
（3）將條件轉(zhuǎn)化為：導(dǎo)函數(shù)大于等于0在[-2，1]上恒成立，通過對對稱軸與區(qū)間關(guān)系的討論求出導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間的最小值，令最小值大于等于0，求出b的范圍．

解答：解：（1）由題意得，f′（x）=3x²+2ax+b，
∵在x=1處的切線方程y=3x+1，∴切點(diǎn)為（1，4），
因此有：

f′(1)=3 f(1)=4 f′(-2)=0

，即

3+2a+b=3 1+a+b+c=4 12-4a+b=0

，解得

a=2 b=-4 c=5

，
∴f（x）=x³+2x²-4x+5，
（2）由（1）知，f′（x）=3x²+4x-4=（x+2）（3x-2），
由f′（x）=（x+2）（3x-2）＜0得，-2＜x＜

2

3

，
由f′（x）=（x+2）（3x-2）＞0得，x＜-2或x＞

2

3

，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（-∞，-2），（

2

3

，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為：（-2，

2

3

），
（3）由（1）得，

f′(1)=3 f(1)=4

，即

3+2a+b=3 1+a+b+c=4

，
解得

a=- 1 2 b c=3- 1 2 b

，∴f′（x）=3x²-bx+b，
∵函數(shù)在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增，
∴f′（x）≥0在區(qū)間[-2，1]上恒成立，
①當(dāng)x=

b

6

≥1時(shí)，f′（x）的最小值為f′（1）=1-b+b≥0，∴b≥6；
②當(dāng)x=

b

6

≤-2時(shí)，f′（x）的最小值為f′（-2）=12+2b+b≥0，∴b∈∅；
③當(dāng)-2＜

b

6

＜1時(shí)，f′（x）的最小值為f′（

b

6

）=

12b-b2

12

≥0，∴0≤b≤6，
綜上得，b的取值范圍是b≥0．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的值是切線的斜率，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值問題，考查了分類討論問題．