已知數(shù)列{an}中,a1=1,前 n 項(xiàng)和為Sn,且點(diǎn)(an,an+1)在直線x-y+1=0上.計(jì)算
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
S99
分析:由點(diǎn)(an,an+1)在直線x-y+1=0上,可得an+1=an+1,又a1=1,可判斷{an}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列,從而求得
其前 n 項(xiàng)和為Sn=
n(n+1)
2
,于是可用裂項(xiàng)法求得
1
Sn
=2(
1
n
-
1
n+1
),從而可求得答案.
解答:解:∵a1=1,點(diǎn)(an,an+1)在直線x-y+1=0上,
∴an-an+1+1=0,
∴an+1-an=1,…(3分)
∴{an}是等差數(shù)列,首項(xiàng)和公差均為1,
∴an=1+( n-1)=n.…(6分)
∴Sn=1+2+…+n=
n(n+1)
2
,…(8分)
1
Sn
=
2
n(n+1)
=2(
1
n
-
1
n+1
)…(10分)
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
S99
=2(1-
1
2
)+2(
1
2
-
1
3
)+2(
1
3
-
1
4
)+…+2(
1
99
-
1
100

=2(1-
1
100
)=
99
50
.…(14分)
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的求和,關(guān)鍵在于判斷出數(shù)列{an}為等差數(shù)列,求得前 n 項(xiàng)和Sn,再用裂項(xiàng)法求
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
S99
,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)
,則
lim
n→∞
an
=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=
an
1+2an
,則{an}的通項(xiàng)公式an=
1
2n-1
1
2n-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{
2n
an
}
的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=
1
2
Sn
為數(shù)列的前n項(xiàng)和,且Sn
1
an
的一個(gè)等比中項(xiàng)為n(n∈N*
),則
lim
n→∞
Sn
=
1
1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( 。
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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