分析 (1)由條件利用三角恒等變換,正弦函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù)的增區(qū)間.
(2)由條件求得cosθ=$\frac{3}{10}$的值,可得sinθ 和tanθ 的值,從而求得tan(θ+$\frac{π}{4}$)的值.
解答 解:(1)函數(shù)f(x)=$\sqrt{3}$cos($\frac{π}{2}$-x)cos(2π-x)-cos2x=$\sqrt{3}$sinx•cosx-$\frac{1+cos2x}{2}$
=sin(2x-$\frac{π}{6}$)-$\frac{1}{2}$,
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$,
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$,kπ+$\frac{π}{3}$],k∈Z.
(2)∵θ∈[0,$\frac{π}{2}$],f($\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{3}$)=sin(θ+$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$)=cosθ=$\frac{3}{10}$,∴sinθ=$\frac{\sqrt{91}}{10}$,∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{\sqrt{91}}{3}$,
∴tan(θ+$\frac{π}{4}$)=$\frac{tanθ+1}{1-tanθ}$=$\frac{50+3\sqrt{91}}{41}$.
點(diǎn)評 本題主要考查三角恒等變換,正弦函數(shù)的單調(diào)性,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角和的正切公式,屬于中檔題.
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