Question

設函數f（x）=

1

2

cosx-

3

2

sinx+1，x∈R．
（1）求f（x）的值域；
（2）記△ABC的內角A、B、C所對邊長分別為a、b、c，若f（B）=1，b=1，c=

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）f（x）解析式利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的值域即可確定出f（x）的值域；
（2）根據f（B）=1，以及f（x）解析式求出B的度數，確定出cosB的值，再利用余弦定理即可求出a的值．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

cosx-

3

2

sinx+1=sin（x+

π

6

）+1，
∵sin（x+

π

6

）∈[-1，1]，
∴f（x）的值域為[0，2]；
（2）由f（B）=1得sin（B+

π

6

）+1=1，即sin（B+

π

6

）=0，
又0＜B＜π，∴B=

π

6

，
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得a²-3a+2=0，
解得：a=1或2．

點評：此題考查了余弦定理，以及兩角和與差的正弦函數公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．