Question

如圖，DA⊥平面ABC，DA∥PC，∠ACB=90°，AC=AD=BC=1，PC=2，E為PB的中點．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角E-CD-B的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明DE∥平面ABC；
（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角E-CD-B的余弦值．

解答： 解：（1）取BC的中點F，連結(jié)EF，
則EF∥PC∥DA，且EF=

1

2

PC=DA=1，
則四邊形ADEF是平行四邊形，
即DE∥AF，
∵DE?平面ABC，AF?平面ABC，
∴DE∥平面ABC；
（2）∵DA⊥平面ABC，DA∥PC，
∴PC⊥平面ABC，
∵∠ACB=90°，AC=AD=BC=1，PC=2，
∴分別以DA，CB，CP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間坐標系如圖，
則A（1，0，0），B（0，1，0），D（1，0，1），P（0，0，2），
則E（0，

1

2

，1），則

D1M

=（1，0，-1），

MB1

=（1，2，1），
設(shè)

n

=（x，y，z）是平面ECD的法向量，

CD

=(1，0，1)，

CE

=(0，

1

2

，1)，
則

CD • n =x+z=0 CE • n = y 2 +z=0

，
令z=1，則x=-1，y=-2，則

n

=（-1，-2，1），
設(shè)

m

=（x，y，z）是平面BCD的法向量，
∵

CD

=(1，0，1)，

CB

=(0，1，0)，
∴

CD • m =x+z=0 CB • m =y=0

，
令z=1，則x=-1，則

m

=（-1，0，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

2

6 × 2

=

3

3

．
易知二面角E-CD-B為銳角，
故二面角E-CD-B的余弦值為

3

3

．

點評：本題主要考查空間直線和平面平行的判定以及空間二面角的計算，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．空間二面角的基本方法．