已知直線l：y=kx+1與橢圓
x2
2
+y2=1交于M、N兩點(diǎn)，且|MN|=
4
2
3
．求直線l的方程．
分析：將直線代入橢圓方程，通過消元轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式求直線的斜率，從而得直線方程．
解答：解：設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（x1，y1），N（x2，y2），
由
y=kx+1
x2
2
+y2=1
消去y得（1+2k2）x2+4kx=0，
所以x1+x2=-
4k
1+2k2
，x1x2=0，由|MN|=
4
2
3
，得(x1-x2)2+(y1-y2)2=
32
9
，
所以(1+k2)(x1-x2)2=
32
9
，即(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=
32
9
，
所以(1+k2)(-
4k
1+2k2
)2=
32
9
，化簡(jiǎn)得k4+k2-2=0，
解得k2=1，所以k=±1，
所以所求直線l的方程是y=x+1或y=-x+1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與橢圓相交時(shí)，利用弦長(zhǎng)公式求直線方程，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l：y=kx+k+1，拋物線C：y2=4x，定點(diǎn)M（1，1）．
（I）當(dāng)直線l經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)F時(shí)，求點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)N的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)N是否在拋物線C上；
（II）當(dāng)k（k≠0）變化且直線l與拋物線C有公共點(diǎn)時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（a，1）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Q（x0，y0），求x0關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式x0=f（k）；若P與M重合時(shí)，求x0的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知圓M：（x+1）2+y2=8及定點(diǎn)N（1，0），點(diǎn)P是圓M上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為PN的中點(diǎn)，PM上一點(diǎn)G滿足
GQ
•
NP
=0
（1）求點(diǎn)G的軌跡C的方程；
（2）已知直線l：y=kx+m與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，E（0，1），是否存在直線l，使得點(diǎn)N恰為△ABE的垂心？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l：y=kx+b是橢圓C：
x24
+y2=1的一條切線，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左右焦點(diǎn)．
（1）過F1，F(xiàn)2作l的垂線，垂足分別為M，N，求|F1M|•|F2M|的值；
（2）若直線l與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的最小值，并求此時(shí)直線l的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l：y=kx-1與雙曲線C：x2-y2=4
（1）如果l與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的值；
（2）如果l與C的左右兩支分別相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，且|x1-x2|=2
5
，求k的值．

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