Question

如圖所示鐵路線上AB線段長100km，工廠C到鐵路線上A處的垂直距離CA為20km．現(xiàn)在要在AB上選一點(diǎn)D，從D向C修一條直線公路．已知鐵路運(yùn)輸每噸千米與公路運(yùn)輸每噸千米的運(yùn)費(fèi)之比為3：5，為了使原料從B處運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省，D應(yīng)選在何處？

Answer 1

分析：設(shè)∠CDA=α，鐵路和公路每公里的運(yùn)費(fèi)分別為3K和5K，則DA=

20

tanα

，CD=

20

sinα

，進(jìn)而可表示出總運(yùn)費(fèi)，再利用導(dǎo)數(shù)的方法，可求運(yùn)費(fèi)最省時(shí)，D的位置．

解答：解：設(shè)∠CDA=α，總運(yùn)費(fèi)為y，鐵路和公路每公里的運(yùn)費(fèi)分別為3K和5K，
則DA=

20

tanα

，CD=

20

sinα

∴BD=100-

20

tanα

∴y=3K（100-

20

tanα

）+5K×

20

sinα

=300K+20K×

5-3cosα

sinα

∵y′=20K×

3-5cosα

sin2α

令y′=20K×

3-5cosα

sin2α

=0，可得cosα=

3

5

令y′=20K×

3-5cosα

sin2α

＞0，可得cosα＜

3

5

，令y′=20K×

3-5cosα

sin2α

＜0，可得cosα＞

3

5

從而可知，當(dāng)cosα=

3

5

時(shí)，函數(shù)取得極小值，而且就是函數(shù)的最小值
此時(shí)，sinα=

4

5

，tanα=

4

3

，DA=

20

tanα

=15km
即D離A點(diǎn)15km．

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，選擇適當(dāng)?shù)膮��?shù)是解題的關(guān)鍵．