Question

已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）n≥2，n∈N時(shí)，求證：[f（1）-1]|[f（2²）-2²]+…+[f（n²）-n²]＜2；
（3）對n≥2，n∈N，x＞0，求證[f（x）]ⁿ-f（xⁿ）≥2ⁿ-2．

Answer 1

【答案】分析：（1）用特殊值直接代入，得f（1）=-f（-1），解此方程，即可求得c的值．
（2）利用放縮法，，再根據(jù)列項(xiàng)相消求和即可．
（3）利用二項(xiàng)式定理，將[f（x）]ⁿ-f（xⁿ）展開，然后根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)相等的項(xiàng)，合并成n-1對，每一個(gè)括號里面都使用基本不等式，可以證出[f（x）]ⁿ-f（xⁿ）≥C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1=2ⁿ-2，達(dá)到證明的目的．
解答：解：∵f（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
∴f（x）是奇函數(shù)，代入特值，f（1）=-f（-1），求得c=0
∴
（2）∵n≥2，n∈N
∴
∴
（3）
=
=

≥=2ⁿ-2
∴[f（x）]ⁿ-f（xⁿ）≥2ⁿ-2．
點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)與不等式的綜合，二項(xiàng)式定理等等知識(shí)點(diǎn)，屬于難題．合理地將條件加以運(yùn)用，適時(shí)利用基本不等式，是解決本題的關(guān)鍵、