Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）a₁=1，a_n+1=2a_n+1⇒a_n+1+1=2（a_n+1），利用等比數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求得{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2ⁿ-1，易得

1

2n-1

＜

1

2n-1

（n≥2），于是

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=2（1-

1

2n-1

）＜2．

解答： 證明：（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，…3分
∴a_n=2ⁿ-1（n∈N^_*）．…5分
（Ⅱ）∵n≥2時(shí)（2ⁿ-1）-2^n-1=2^n-1＞0，即2ⁿ-1＞2^n-1，
∴

1

2n-1

＜

1

2n-1

（n≥2），…9分
所以

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=2（1-

1

2n-1

）＜2．…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比關(guān)系的確定，突出考查放縮法的應(yīng)用，考查邏輯推理與證明的能力，屬于中檔題．