已知α,β∈R且αβ≠0,數(shù)列{xn}滿足x1=α+β,x2=α2+αβ+β2,xn+2=(α+β)xn+1-αβ•xn(n≥1,n∈N),令bn=xn+1-αxn
(1)求證:{bn}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{xn}的通項公式;(不能直接使用競賽書上的結(jié)論,要有推導(dǎo)過程)
(3)若α=β=
12
,求{xn}的前n項和Sn
分析:(1)利用已知條件,推出
bn+1
bn
是常數(shù),即可證明{bn}是等比數(shù)列;
(2)通過α≠β與α=β,分別求出數(shù)列{xn}的通項公式;(不能直接使用競賽書上的結(jié)論,要有推導(dǎo)過程)
(3)利用(2)的結(jié)論,通過α=β=
1
2
,寫出{xn}的通項公式,利用錯位相減法求出前n項和Sn
解答:解:(1)因為bn=xn+1-αxn
所以b1=x2-αx12+αβ+β2-α(α+β)=β2
bn+1
bn
=
xn+2xn+1
xn+1- αxn
=β.所以{bn}是等比數(shù)列;
(2)①當(dāng)α≠β時,∴xn-αxn-1=β(xn-1-αxn-2),xn-βxn-1=α(xn-1-βxn-2),
由等比數(shù)列性質(zhì)可得,
xn-αxn-1=(x2-αx1)βn-2n,
xn-βxn-1=(x2-βx1)αn-2n
聯(lián)立解得:xn=
αn+1-βn+1
α-β
,
②當(dāng)α=β時,由①可得,xn-αxn-1=(x2-αx1)βn-2,
∵α=β,xn-αxn-1=(x2-αx1)αn-2n,即xn=αxn-1n,
等式兩邊同除以αn,得:
xn
αn
=
xn-1
αn-1
+1

xn
αn
-
xn-1
αn-1
=1

數(shù)列{
xn
αn
}
是以1為公差的等差數(shù)列,
xn
αn
=
x1
α 
+(n-1)×1=
α
+n-1=n+1
,
xn=(n+1)αn
綜上所述,xn=
αn+1-βn+1
α-β
,(α≠β)
(n+1)αn+1,(α=β)
…(10分)
(3)因為α=β=
1
2
,由(2)可得xn=(n+1)•(
1
2
)n

Sn=[(
1
2
)
 
+(
1
2
)
2
+(
1
2
)
3
+…+(
1
2
)
n
 ]
+[(
1
2
)
 
+2×(
1
2
)
2
+3×(
1
2
)
3
+…+n×(
1
2
)
n
 ]

令P=
1
2
+2×(
1
2
)2+3×(
1
2
)3+…+n×(
1
2
)n
,…①
1
2
P
=(
1
2
)
2
+2×(
1
2
)
3
+3×(
1
2
)
4
+…+n×(
1
2
)
n+1
…②,
①-②得,
1
2
P
=
1
2
+(
1
2
)
2
+(
1
2
)
3
+…+(
1
2
)
n
-n ×(
1
2
)
n+1
=1-(
1
2
)
n
-n ×(
1
2
)
n+1

∴Sn=1-(
1
2
)n+2-(
1
2
)n-1-n(
1
2
)n=3-(n+3)(
1
2
)n
…(14分)
點評:本題考查數(shù)列的判定,數(shù)列通項公式與前n項和的求法,考查分類討論思想,計算能力.
練習(xí)冊系列答案
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(本題滿分16分)

已知函數(shù)∈R且),.

(Ⅰ)若,且函數(shù)的值域為[0, +),求的解析式;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,當(dāng)x∈[-2 , 2 ]時,是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)k的取值范圍;

(Ⅲ)設(shè),, 且是偶函數(shù),判斷是否大于零?

 

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(本題滿分16分)

已知函數(shù)∈R且),.

(Ⅰ)若,且函數(shù)的值域為[0, +),求的解析式;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,當(dāng)x∈[-2 , 2 ]時,是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)k的取值范圍;

(Ⅲ)設(shè),, 且是偶函數(shù),判斷能否大于零?

 

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