Question

函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，當(dāng)x≤1時(shí)f（x）=x²-1；
（Ⅰ）寫出y=f（x）的解析式并作出圖象；
（Ⅱ）根據(jù)圖象討論f（x）-a=0（a∈R）的根的情況．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，當(dāng)x≤1時(shí)f（x）=x²-1的圖象為拋物線，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），已知拋物線關(guān)于x=1對(duì)稱以后的拋物線與原圖象的性質(zhì)完全一樣，故考慮找出頂點(diǎn)（0，-1）的對(duì)稱點(diǎn)（2，-1），從而可求
（II）根據(jù)圖象找出函數(shù)y=f（x）與y=a的交點(diǎn)情況即可．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，
x≤1時(shí)，f（x）=x²-1，頂點(diǎn)（0，-1）
而f（x）=x²-1的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱的圖象為拋物線，其頂點(diǎn)為（0，-1）關(guān)于x=1對(duì)稱的點(diǎn)（2，-1）
故所求的拋物線為：f（x）=（x-2）²-1
∴f（x）=

x2-1；(x≤1) (x-2)2-1；(x＞1)

寫對(duì)解析式并正確作出圖象..（6分）
（Ⅱ）當(dāng)a＜-1時(shí)：f（x）-a=0無解；
當(dāng)-1≤a＜0時(shí)：f（x）-a=0有四個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)a=0時(shí)：f（x）-a=0有三個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)a＞0時(shí)：f（x）-a=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根..（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用對(duì)稱性求解函數(shù)的解析式，方程的根的情況轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)情況，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合的思想在解題中的應(yīng)用．