Question

20．已知a∈R，函數(shù)$f（x）=\frac{{{e^x}-a}}{x}-alnx$（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）函數(shù)f（x）是否存在極大值，若存在，求極大值點(diǎn)，若不存在，說明理由；
（Ⅱ）設(shè)$g（x）=\frac{e^x}{1+xlnx}$，證明：對任意x＞0，g（x）＞1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得$f'（x）=\frac{{{e^x}x-（{{e^x}-a}）}}{x^2}-\frac{a}{x}=\frac{1}{x^2}[{（{x-1}）（{{e^x}-a}）}]$，分以下四種情況討論：（1）a≤1，（2）1＜a＜e，（3）a=e，（4）a＞e；
（Ⅱ）要證$g（x）=\frac{e^x}{1+xlnx}＞1$，只要證明$\frac{e^x}{1+xlnx}-1＞0$成立，即證$\frac{{{e^x}-（{1+xlnx}）}}{1+xlnx}＞0$成立，令h（x）=1+xlnx，利用導(dǎo)數(shù)可得$h（x）≥h（{\frac{1}{e}}）=1+\frac{1}{e}ln\frac{1}{e}=1-\frac{1}{e}＞0$，只需證明e^x-（1+xlnx）＞0即可，變形得$lnx＜\frac{{{e^x}-1}}{x}⇒\frac{{{e^x}-1}}{x}-lnx＞0$，由（Ⅰ）可證明．

解答 解：（Ⅰ）由已知得，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），$f'（x）=\frac{{{e^x}x-（{{e^x}-a}）}}{x^2}-\frac{a}{x}=\frac{1}{x^2}[{（{x-1}）（{{e^x}-a}）}]$…（1分）
（1）若a≤1，則e^x＞a，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
所以當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極小值，函數(shù)無極大值；     …（2分）
（2）若1＜a＜e，令e^x=a，得x=lna∈（0，1），
所以f'（x）和f（x）在（0，+∞）上的變化情況如下表所示

x	（0，lna）	lna	（lna，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

所以當(dāng)x=lna時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值；…（4分）
（3）當(dāng)a=e時(shí)，f'（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
此時(shí)不存在極值              …（5分）
（4）當(dāng)a＞e時(shí)，令e^x=a，得x=lna∈（1，+∞），
所以f'（x）和f（x）在（0，+∞）上的變化情況如下表所示

x	（0，1）	1	（1，lna）	lna	（lna，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值； …（7分）
綜上所述，當(dāng)1＜a＜e時(shí)，函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)是x=lna；
當(dāng)a＞e時(shí)，函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)是x=1；
當(dāng)a≤1或a=e時(shí)，函數(shù)無極大值點(diǎn)．            …（8分）
（Ⅱ）要證$g（x）=\frac{e^x}{1+xlnx}＞1$，只要證明$\frac{e^x}{1+xlnx}-1＞0$成立，
即證$\frac{{{e^x}-（{1+xlnx}）}}{1+xlnx}＞0$成立，…（9分）
令h（x）=1+xlnx，則h'（x）=1+lnx，
當(dāng)$x∈（{0，\frac{1}{e}}）$，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)$x∈（{\frac{1}{e}，+∞}）$，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；
所以$h（x）≥h（{\frac{1}{e}}）=1+\frac{1}{e}ln\frac{1}{e}=1-\frac{1}{e}＞0$，…（10分）
所以只需證明e^x-（1+xlnx）＞0即可，變形得$lnx＜\frac{{{e^x}-1}}{x}⇒\frac{{{e^x}-1}}{x}-lnx＞0$，
由（Ⅰ）知，當(dāng)a=1時(shí)，$f（x）=\frac{{{e^x}-1}}{x}-lnx$…（12分）$f（x）=\frac{{{e^x}-1}}{x}-lnx$在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以f（x）≥f（1）=e-1＞0，即e^x-（1+xlnx）＞0，
故對任意x＞0，g（x）＞1．     …（14分）

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值、最值，考查了分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．