Question

對(duì)于定義域和值域均為[0，1]的函數(shù)f（x），定義f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），n=1，2，3，…滿足f_n（x）=x的點(diǎn)稱為f的n階周期點(diǎn)．設(shè)，則（1）方程f（x）=x的正根是______；（2）f的2階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是______．

Answer 1

解：（1）當(dāng)0≤x≤，方程f（x）=x 即 2x=x，解得 x=0，故方程沒有正實(shí)數(shù)根．
當(dāng)＜x≤1，方程f（x）=x 即 2-2x=x，解得x=．
綜上可得，方程f（x）=x的正根是 ，
故答案為 ．
（2）當(dāng)x∈[0，]時(shí)，f₁（x）=2x=x，解得x=0；
當(dāng)x∈（ ，1]時(shí)，f₁（x）=2-2x=x，解得x=．
∴f的1階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2．
當(dāng)x∈[0，]時(shí)，f₁（x）=2x，方程f₂（x）=x，即4x=x，解得x=0．
當(dāng)x∈（ ，]時(shí)，f₁（x）=2x，方程f₂（x）=x，即2-4x=x，解得x=．
當(dāng)x∈（ ，]時(shí)，f₁（x）=2-2x，方程f₂（x）=x，即-2+4x=x，解得x=．
當(dāng)x∈（ ，1]時(shí)，f₁（x）=2-2x，方程f₂（x）=x，即4-4x=x，解得x=．
∴f的2階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2²=4，
故答案為 4．
分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理，方法是根據(jù)已知條件和遞推關(guān)系，先求出f的1階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)，2階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)，然后總結(jié)歸納其中的規(guī)律，f的n階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．