Question

18．已知對(duì)任意的x≥1，均有l(wèi)nx-a（1-$\frac{1}{x}$）≥0．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)可得a（x-1）≤xlnx，從而討論，當(dāng)x＞1時(shí)，化為a≤$\frac{xlnx}{x-1}$，從而令f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$，從而化為函數(shù)的最值問(wèn)題．

解答 解：∵ln x-a（1-$\frac{1}{x}$）≥0，
∴l(xiāng)n x-a$\frac{x-1}{x}$≥0，
∴a（x-1）≤xlnx，
①當(dāng)x=1時(shí)，上式成立；
②當(dāng)x＞1時(shí)，上式可化為a≤$\frac{xlnx}{x-1}$，
令f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$，則f′（x）=$\frac{（lnx+1）（x-1）-xlnx}{（x-1）^{2}}$=$\frac{x-lnx-1}{（x-1）^{2}}$，
令g（x）=x-lnx-1，則g′（x）=1-$\frac{1}{x}$＞0，
故g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
故g（x）＞g（1）=1-0-1=0，
故f′（x）＞0，
故f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$在（1，+∞）上是增函數(shù)，
而$\underset{lim}{x→{1}^{+}}$f（x）=$\underset{lim}{x→{1}^{+}}$$\frac{xlnx}{x-1}$=$\underset{lim}{x→{1}^{+}}$$\frac{lnx+1}{1}$=1，
故a≤1；
綜上所述，a≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了恒成立問(wèn)題與最值問(wèn)題的應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想應(yīng)用．同時(shí)考查了洛比達(dá)法則的應(yīng)用．