Question

11．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）若AB⊥AC，AB=AC=1，AA₁=2，求平面ADC₁與平面ABC所成的銳二面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)A₁C，交A₁C于點E，則點E是A₁C及A₁C的中點，由中位線定理可得DE∥A₁B，再由線面平行的判定得答案；
（2）由已知可得∠C₁DC即為平面ADC₁與平面ABC所成的銳二面角的平面角，然后求解直角三角形求得平面ADC₁與平面ABC所成的銳二面角的正切值．

解答 （1）證明：如圖，
連結(jié)A₁C，交A₁C于點E，則點E是A₁C及A₁C的中點，
連結(jié)DE，則DE∥A₁B，∵DE?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁；

（2）解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中是直三棱柱，
∴平面ADC⊥平面平面B₁BCC₁，
∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC，
∴AD⊥平面B₁BCC₁，從而AD⊥C₁D，又AD⊥BC，
∴∠C₁DC即為平面ADC₁與平面ABC所成的銳二面角的平面角，
在Rt△ABC中，由AB=AC=1，求得CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△C₁CD中，∵C₁C=2，∴$tan∠{C_1}DC=2\sqrt{2}$．
∴平面ADC₁與平面ABC所成的銳二面角的正切值為$2\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查二面角的平面角的求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．