Question

設等比數列z₁，z₂，z₃，…，z_n，其中z₁=1，z₂=a+bi，z₃=b+ai（a，b∈R，a＞0）．
（1）求a，b的值；
（2）若等比數列的公比為q，且復數μ滿足(-1+

3

i)μ=q，求|μ|．

Answer 1

分析：（1）z₁，z₂，z₃是等比數列的前三項，根據等比數列的性質可得z₂²=z₁•z₃，由已知z₁=1，z₂=a+bi，z₃=b+ai，分別代入即可得到關于a和b的方程組，求出方程組的解集即可得到a與b的值；
（2）把（1）求出a與b的值代入z₂，然后利用

z2

z1

求出等比數列的公比q，由于(-1+

3

i)μ=q，把公比q代入其中即可求出復數μ，即可求出復數的模．

解答：解：（1）由等比數列得z₂²=z₁•z₃，
即（a+bi）²=1•（b+ai）且a＞0
∴

a2-b2=b 2ab=a

，解得

a= 3 2 b= 1 2

；
（2）q=

z2

z1

=

3

2

+

1

2

i．
∵(-1+

3

i)μ=q
∴μ=

3 2 + 1 2 i

-1+ 3 i

=

- 1 2 i(-1+ 3 i)

-1+ 3 i

=-

1

2

i．
∴|μ|=

1

2

．

點評：此題考查學生靈活利用等比數列的性質解決實際問題，會進行復數代數形式的混合運算及會求復數的模，是一道綜合題．