Question

（2013•瀘州一模）已知命題p：夾角為m的單位向量a，b使|a-b|＞l，命題q：函數(shù)f（x）=msin（mx）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若?x_o∈R，f′(xo)≥

4π2

5

．設(shè)符合p∧q為真的實(shí)數(shù)m的取值的集合為A．
（I）求集合A；
（Ⅱ）若B={x∈R|x²=πa}，且B∩A=∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）分別求出命題為真時(shí)，參數(shù)的范圍，再根據(jù)p∧q為真，則p真q真，建立不等式組，從而可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（II）由條件A∩B=φ，對(duì)字母a分類討論，我們易構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于a的不等式，解此不等式即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（I）∵|

a

-

b

|＞1，|

a

|=|

b

|=1
∴

a

²+

b

²-2

a

•

b

=2-2cosm＞1
∴cosm＜

1

2

∵0≤m≤π
∴

π

3

＜m≤π
即命題p為真時(shí)，m的取值對(duì)應(yīng)的集合P=（

π

3

，π]
函數(shù)f（x）=msin（mx）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=m²cos（mx），
若?x_o∈R，f′(xo)≥

4π2

5

．則f′（x）_max=m²≥

4π2

5

解得m≤-

2 5 π

5

或m≥

2 5 π

5

，
p∧q為真，即p和q都為真，此時(shí)有

π

3

＜m≤π且m≤-

2 5 π

5

或m≥

2 5 π

5

，
即

2 5 π

5

≤m≤π
故實(shí)數(shù)m的取值的集合為A=[

2 5 π

5

，π]．
（II）（1）若B=∅，滿足B∩A=∅，
此時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍a＜0；
（2）若B≠∅，則a≥0，此時(shí)B={x|x=±

πa

}，
由B∩A=∅，得

πa

≤

π

3

，或

πa

≤

2 5

5

π，
∴0≤a≤

π

9

，或a≥

4

5

π．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，

π

9

]∪[

4

5

π，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用，主要考查集合的關(guān)系、集合的運(yùn)算，同時(shí)考查向量運(yùn)算與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題，其中根據(jù)已知條件，構(gòu)造出關(guān)于a的不等式組，是解答本題的關(guān)鍵．本題是一個(gè)中檔題目．